Движение электрона в однородном магнитном поле

Введение

Рассмотрим, как электрон движется в однородном магнитном поле. Если неоднородность этого поля настолько мала, что ею можно пренебречь, или если нам не требуются точные количественные результаты, мы можем использовать законы, описывающие движение электрона в однородном поле. Это упрощает расчеты и помогает лучше понять поведение электрона в таких условиях.

Начальные условия и сила Лоренца

Электрон в магнитном поле

Предположим, что электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью v₀​, которая перпендикулярна направлению магнитных силовых линий.

Действие силы Лоренца

На движущийся электрон действует сила Лоренца F, перпендикулярная как вектору скорости v₀​, так и вектору магнитной индукции B:

F = e v_0 B

где:

• e — заряд электрона,
• v₀​ — начальная скорость электрона,
• B — магнитная индукция.

Если v₀=0, то сила F равна нулю, то есть на неподвижный электрон магнитное поле не оказывает влияния.

Траектория движения электрона

Круговое движение

Сила Лоренца заставляет электрон двигаться по дуге окружности. Поскольку эта сила всегда перпендикулярна скорости электрона, она не совершает работы, и энергия электрона остаётся постоянной. Меняется только направление скорости, а не её величина.

Центростремительная сила

Движение по окружности с постоянной скоростью обусловлено наличием центростремительной силы. В данном случае роль этой силы выполняет сила Лоренца F.

Направление движения

Направление вращения электрона в магнитном поле можно определить следующим образом: если смотреть в направлении магнитных силовых линий, то электрон будет двигаться по часовой стрелке. Это соответствует правилу «винта», когда вращение совпадает с направлением ввинчивания вектора B.

Вычисление радиуса траектории

Уравнение центростремительной силы

Для определения радиуса r окружности используем выражение для центростремительной силы:

F = \frac{m v_0^2}{r}

где m — масса электрона.

Приравнивание сил

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:

\frac{m v_0^2}{r} = e v_0 B

Формула радиуса

Решая уравнение относительно r, находим:

r = \frac{m v_0}{e B}

Анализ зависимости радиуса

Когда скорость электрона v₀​ увеличивается, радиус его траектории также растёт. Это происходит потому, что при большей скорости электрон стремится двигаться по прямой линии из-за инерции, и его труднее отклонить. Если же усилить магнитное поле B, радиус траектории электрона уменьшается. Это связано с тем, что сила Лоренца становится сильнее при большем магнитном поле и более интенсивно искривляет путь электрона.

Обобщение на другие частицы

Выведенная формула радиуса применима к любой заряженной частице. При увеличении массы m частица стремится двигаться прямолинейно, и радиус траектории увеличивается. Увеличение заряда e приводит к усилению силы Лоренца и уменьшению радиуса траектории.

Поведение электрона за пределами магнитного поля

После выхода из области действия магнитного поля электрон продолжает движение по инерции прямолинейно и равномерно. Если радиус траектории внутри поля мал, электрон может совершать замкнутые круговые орбиты, не покидая магнитное поле.

Движение электрона под произвольным углом

Разложение скорости на компоненты

Когда электрон влетает в магнитное поле под некоторым углом, его начальная скорость v₀​ можно разделить на две составляющие.

Продольная составляющая скорости (v_x​) направлена вдоль магнитных силовых линий. Эта компонента не испытывает воздействия со стороны магнитного поля и остается неизменной на протяжении всего движения.

Поперечная составляющая скорости (v_y​) направлена перпендикулярно к магнитным силовым линиям. Именно она взаимодействует с магнитным полем и вызывает искривление траектории электрона за счет силы Лоренца.

Влияние магнитного поля на составляющие скорости

Продольная составляющая скорости v_x​ не испытывает воздействия со стороны магнитного поля. Поэтому электрон продолжает двигаться равномерно и прямолинейно в направлении, совпадающем с магнитными силовыми линиями. В то же время на поперечную составляющую скорости v_y действует сила Лоренца, которая влияет на заряженные частицы в магнитном поле. Под ее воздействием электрон начинает двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю

Винтовая траектория

Сочетание продольного и поперечного движений приводит к тому, что электрон описывает винтовую линию (спираль). Характер винтовой траектории зависит от величин B, v_x​ и v_y​: чем больше v_x​, тем более растянута спираль.