Электрические цепи с взаимной индуктивностью
Введение
Электрические цепи с взаимной индуктивностью представляют собой увлекательную область в электротехнике, где тесное взаимодействие между элементами цепи играет ключевую роль. В этой статье мы исследуем феномен взаимной индуктивности, его влияние на поведение электрических цепей и практические приложения этого важного концепта. Готовьтесь к погружению в мир сложных взаимодействий и технических решений, который формирует современную электротехнику.
Основные понятия и определения.
Явлением взаимоиндукции называется возникновение электродвижущей силы (ЭДС) индукции в одном контуре при изменении силы тока во втором контуре и наоборот.
Взаимоиндукция — это частный случай электромагнитной индукции.
Взаимной индуктивностью назвали коэффициент пропорциональности между ЭДС индукции, возникающей в одном контуре при изменении силы тока во втором контуре, и скоростью этого изменения.
В случае изменения магнитного потока, который пронизывает контур, возникает явление электродвижущей силы (ЭДС). Если этот магнитный поток создается током в том же контуре, то мы имеем дело с самоиндукцией. Это проявляется в виде ЭДС самоиндукции (eL) и индуктивности (L).
Если магнитный поток создается током в другом контуре, это называется явлением взаимоиндукции. В этом случае возникает ЭДС взаимоиндукции (eM) и взаимная индуктивность (M).
Давайте рассмотрим две индуктивные катушки, которые имеют магнитную связь. Если мы подключим первую индуктивную катушку к источнику напряжения u1, то в ней возникнет ток i1. Этот ток создает магнитный поток Ф11, часть которого проникает во вторую катушку (Ф12). Другая часть магнитного потока рассеивается в окружающей среде как магнитный поток рассеяния (Ф1S).
Потокосцепление самоиндукции ψ11 = W1Ф11 наводит в первой катушке ЭДС самоиндукции:
Потокосцепление взаимоиндукции ψ12 = W2Ф12 наводит во второй катушке ЭДС взаимоиндукции:
Коэффициент, который оценивает способность тока создавать магнитный поток в другом контуре, называется взаимной индуктивностью (M). Взаимная индуктивность описывает влияние одного контура на другой в контексте взаимоиндукции и может быть ключевым параметром при анализе электрических цепей с магнитной связью:
При замыкании контактов на второй катушке, там проявляется ток i2. Он генерирует магнитный поток Ф22 = Ф21 + Ф2S. Потокосцепление самоиндукции ψ22 = W2Ф22 наводит во второй катушке ЭДС самоиндукции.
Взаимное влияние магнитных полей двух катушек приводит к тому, что в первой катушке наводится ЭДС взаимоиндукции, величина которой пропорциональна потокосцеплению взаимоиндукции ψ21, определяемому формулой ψ21 = W1Ф21.
По принципу взаимности для линейных цепей взаимная индуктивность М12 равна взаимной индуктивности М21, и обе они равны М.
Степень индуктивной связи между двумя катушками характеризуют коэффициентом связи k, под которым понимают отношение:
где XM = Mω – сопротивление взаимной индукции.
Для разрешения вопросов о полярности при работе с индуктивно связанными катушками используется специальная маркировка. Два контакта, принадлежащих индуктивно связанным элементам, называются одноименными, если магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются, когда токи в них имеют одинаковые направления. Одноименные контакты часто обозначают с помощью точек или других символов. Это помогает определить правильное направление токов и учесть взаимное воздействие между элементами.
Анализ цепи с последовательным соединением индуктивно связанных катушек
При включении индуктивно связанных катушек возможны два случая: согласное и встречное соединение. В согласном соединении направления магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции совпадают, что происходит при одинаковых направлениях токов относительно одноименных контактов. Определение направления магнитного потока можно осуществить с помощью правила буравчика или правой руки: если пальцы руки охватывают катушку в направлении тока, большой палец покажет направление магнитного потока.
Во встречном соединении направления магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции напротив, что происходит, когда токи ориентированы относительно одноименных контактов по-разному.
Согласное включение
Согласное включение (сериальное включение) — в этом случае обмотки катушек соединяются так, что направления токов в них совпадают. Это означает, что ток проходит через обе катушки в одном направлении. Согласное включение приводит к увеличению индуктивности системы. Общая индуктивность такой системы равна сумме индуктивностей катушек.
Входное напряжение определяется как сумма напряжений на двух индуктивных катушках. Напряжения собственной индуктивности (uL) и взаимной индуктивности (uM) имеют одинаковые знаки в случае согласного включения катушек, когда магнитные потоки совпадают по направлению. Это свойство помогает правильно учитывать вклад каждой катушки в общее входное напряжение.
Уравнение электрического состояния в дифференциальной форме:
Для комплексных значений:
Комплексных сопротивлений:
Реактивное сопротивление индуктивно связанных катушек
Реактивное сопротивление двух индуктивно связанных катушек, подключенных последовательно (согласно), складывается. Это означает, что реактивное сопротивление системы равно сумме реактивных сопротивлений каждой катушки. Математически это выглядит следующим образом:
X_total = X1 + X2
Где:
- X_total — общее реактивное сопротивление системы,
- X1 — реактивное сопротивление первой катушки,
- X2 — реактивное сопротивление второй катушки.
Векторная диаграмма
Встречное включение
Встречное включение (параллельное включение) — в этом случае обмотки катушек соединяются так, что направления токов в них противоположны. Токи в катушках текут в противоположных направлениях. Встречное включение приводит к уменьшению индуктивности системы. Общая индуктивность такой системы вычисляется как разность индуктивностей катушек.
Если учесть, что напряжения собственной индуктивности (uL) и взаимной индуктивности (uM) имеют противоположные направления, уравнение электрического состояния в дифференциальной форме приобретает следующий вид:
Для комплексных значений:
Комплексных сопротивлений:
Для вычисления сопротивления взаимной индуктивности (XM) и взаимной индуктивности (M) можно использовать следующее выражение:
Реактивное сопротивление индуктивно связанных катушек
- Реактивное сопротивление двух индуктивно связанных катушек, подключенных параллельно (встречно), складывается по обратному закону. Это означает, что реактивное сопротивление системы вычисляется как обратная величина суммы обратных реактивных сопротивлений каждой катушки. Математически это выглядит так:1/X_total = 1/X1 + 1/X2После вычислений, вы получите общее реактивное сопротивление системы (X_total).
Реактивное сопротивление определяется формулой:
X = 2πfL
Где:
- X — реактивное сопротивление (в омах),
- π — число пи (приближенно 3.14159),
- f — частота переменного тока (в герцах),
- L — индуктивность катушки (в генри).
Векторная диаграмма
На участке цепи может возникнуть емкостный эффект, если коэффициент взаимной индуктивности (M) больше собственной индуктивности (L). Однако, в целом, реактивное сопротивление всей цепи обычно обусловлено индуктивным характером, так как величина M не может быть одновременно больше, чем собственные индуктивности L1 и L2. Это следует из условия L1 + L2 ≥ 2M.
На представленной диаграмме видно, что взаимная индуктивность M больше, чем собственная индуктивность L1, но меньше, чем собственная индуктивность L2. Это означает, что характер реактивного сопротивления на этом участке цепи в целом будет индуктивным.
Расчет электрических цепей при наличии взаимной индуктивности
При наличии взаимной индуктивности токи в различных ветвях цепи зависят друг от друга, и поэтому для расчетов обычно используют методы, которые учитывают эти зависимости. Методы необходимого использования включают применение законов Кирхгофа и анализ контурных токов, которые учитывают зависимости между токами.
В общем случае, направление напряжения UM, обусловленного взаимной индуктивностью, можно определить с помощью следующего правила: ток Ik и напряжение jMωIk имеют одинаковое направление относительно одноименных зажимов индуктивных элементов. Это правило позволяет составить уравнение второго закона Кирхгофа даже в случаях, когда нельзя однозначно определить тип включения индуктивных элементов (согласное или встречное).
Однако, чтобы избежать ограничений, связанных с методами расчета, часто используется метод развязки магнитных связей. Это означает замену цепи с взаимной индуктивностью на эквивалентную цепь без магнитных связей. Метод развязки магнитных связей часто применяется в узлах, где сходятся не более трех ветвей цепи.
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа:
Используя уравнения (2) и (3) и подставив в них выражения для «лишних» токов, найденные из уравнения (1), мы получим следующие уравнения:
Этим уравнениям соответствует схема замещения без магнитных связей, представленная ниже
Векторные напряжения, вызванные взаимной индуктивностью, учитываются при создании векторных диаграмм. Эти векторы опережают фазовые положения токов, которые их вызывают, на 90 градусов при согласном включении катушек. В случае встречного включения эти векторы отстают на 90 градусов от индуцированных токов. Строя соответствующие векторные диаграммы, это правило помогает учитывать влияние взаимной индуктивности на фазовые отношения цепи.
Развязка магнитных связей
Развязка магнитных связей — это процесс или метод уменьшения или устранения магнитной связи между магнитными элементами, как, например, магнитными катушками или сердцевинами трансформатора. Развязка магнитных связей может использоваться в электронике и электротехнике с разными целями, включая снижение взаимного влияния магнитных полей, улучшение электромагнитной совместимости и предотвращение нежелательного распространения магнитных полей.
Один из наиболее распространенных методов развязки магнитных связей — это использование экранирования, такого как магнитные экраны или феррозонды, чтобы ограничить распространение магнитных полей и уменьшить их воздействие на соседние устройства или компоненты.
Правила развязки магнитных связей
Правило развязки магнитных связей гласит, что магнитные потоки в разных цепях или магнитных системах должны быть развязаны друг от друга, чтобы предотвратить нежелательное влияние магнитных полей на соседние элементы или системы. Это правило особенно важно в электронике и электротехнике, где электромагнитная совместимость (EMC) и предотвращение магнитных помех имеют решающее значение для нормальной работы устройств.
Способы развязки магнитных связей включают:
- Использование магнитных экранов: Магнитные экраны из магнитопроводящих материалов, таких как пермаллой, феррит и мю-металл, используются для создания барьера, который блокирует магнитные потоки и предотвращает их распространение в соседние устройства.
- Применение феррозондов: Феррозонды, также известные как трансформаторы с развязкой магнитных потоков, предназначены для уменьшения магнитной связи между обмотками трансформатора, что помогает уменьшить взаимное воздействие и магнитные помехи.
- Размещение элементов на определенном расстоянии: Размещение магнитных компонентов, таких как катушки и трансформаторы, на достаточном расстоянии друг от друга может снизить магнитное взаимодействие между ними.
- Использование кабельных экранов и экранированных корпусов: Для предотвращения распространения магнитных полей через кабели и корпуса устройств можно применять специальные экранированные кабели и корпуса.
Эффективная развязка магнитных связей способствует улучшению электромагнитной совместимости и предотвращению магнитных помех, что важно для стабильной работы электронных и электротехнических устройств.
