Параметры основных элементов электрической цепи

Введение

Электрическая цепь – совокупность связанных между собой элементов, через которые протекают токи и напряжения. Основные элементы цепи – это резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности и источники энергии (источники ЭДС или тока). Их условно делят на пассивные (резистивные, индуктивные и емкостные элементы, в которых энергия рассеивается или накапливается) и активные (содержат собственный источник энергии). Активными элементами являются источники ЭДС (генераторы) и источники тока. Все элементы могут быть двухполюсными (например, R, L, C, источник) или многополюсными (триоды, трансформаторы и др.). При рассмотрении линейных цепей основные характеристики элементов выражаются с помощью соотношений между напряжением и током, а численные коэффициенты в этих соотношениях называют параметрами элемента.

Рассмотрим каждый тип элементов подробнее: приведем их определения, физические принципы, основные параметры, формулы и примеры расчётов.

Резистор

Резистор – пассивный элемент, который ограничивает ток, преобразуя электрическую энергию в тепло.

Его основная характеристика – сопротивление $R$, измеряемое в омах (Ом). В простейшем случае резистор представляет собой проводник длины $l$ и площади поперечного сечения $A$, выполненный из материала с удельным сопротивлением $\rho$. Сопротивление такого элемента рассчитывается по формуле:

$R = \rho \frac{l}{A}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала (в Ом·м), $l$ – длина проводника (м), $A$ – площадь его поперечного сечения (м²). Условие Ома для участка цепи связывает между собой силу тока $I$, напряжение $U$ и сопротивление $R$ так:

$U = I R$.

Это означает, что ток через резистор прямо пропорционален приложенному напряжению и обратно пропорционален его сопротивлению. При протекании тока на резисторе происходит выделение тепла (эффект Джоуля): мощность, рассеиваемая на резисторе, равна $P = I^2 R$ (в ваттах).

В цепях постоянного тока резистор обеспечивает линейную связь $U$ и $I$ по закону Ома. В цепях переменного тока идеальный резистор не создает фазового сдвига между током и напряжением – его импеданс равен $R$ и не зависит от частоты. Иными словами, в АЧХ резистора ток и напряжение остаются в фазе, а величина сопротивления постоянна во всем диапазоне частот (для идеального резистора).

Пример 1

Пусть $R=240,\Omega$, на резистор подано напряжение $U=5,\text{В}$. Тогда ток равен $I=5/240\approx0.0208,\text{А}$ (20.8 мА). Мощность на резисторе $P=UI=5\cdot0.0208\approx0.104,\text{Вт}$.

Пример 2

При последовательном соединении нескольких резисторов их сопротивления складываются: $R_\text{общ}=R_1+R_2+\dots$

Например, два резистора по 1 кОм, соединённые последовательно, дают общее $R=2000,\Omega$.

Конденсатор

Конденсатор – пассивный элемент для накопления электрического заряда и энергии электрического поля.

Он состоит из двух проводящих пластин (обкладок), разделённых слоем диэлектрика (воздухом, слюдой, керамикой и т.д.). Основным параметром конденсатора является его ёмкость $C$, которая определяет, какой заряд $q$ накапливается при приложенном напряжении $U$: $q = C\,U$.

Единица ёмкости – фарад (Ф), 1 Ф = 1 Кл/В. По определению ёмкости заряд пропорционален напряжению. Так, в СИ: 1 Кл заряда накапливается при 1 В на конденсаторе ёмкостью 1 Ф.

Для плоского конденсатора из двух параллельных пластин площади $S$, разделённых диэлектриком толщиной $d$, ёмкость вычисляется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon\,\varepsilon_{0} S}{d},$

где $\varepsilon_0\approx8{,}85\cdot10^{-12}$ Ф/м – электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума), $\varepsilon$ – относительная диэлектрическая проницаемость вещества между пластинами. Эта формула справедлива при $d\ll\sqrt{S}$.

Конденсатор накапливает энергию электрического поля; его энергия $W$ равна половине произведения ёмкости на квадрат приложенного напряжения:

​$W = \frac{1}{2}CU^2$

Эквивалентные представления:

$W = \frac{C U^2}{2} = \frac{q U}{2} = \frac{q^2}{2C}$

В цепях постоянного тока конденсатор при установившемся режиме заряжен и не пропускает постоянный ток (поведение эквивалентно разомкнутой цепи). То есть при подаче постоянного напряжения ток через идеальный конденсатор быстро затухает, и в установившемся режиме его можно считать открытым разрывом.

В цепях переменного тока конденсатор обладает ёмкостным реактивным сопротивлением $X_C$, которое уменьшается при увеличении частоты. В частности, действительная величина реактивного сопротивления:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C},$

где $\omega=2\pi f$ – циклическая частота (с$^{-1}$), $f$ – частота (Гц). На больших частотах конденсатор пропускает переменный ток легче (меньшее $X_C$), на очень низких (или при $f\to0$) – почти не пропускает. При переменном токе мгновенный ток в конденсаторе опережает мгновенное напряжение на $90^\circ$ (ток ведёт себя как $I_C=C,dU/dt$).

Пример 3

Конденсатор $C=10,\mu\text{Ф}$ заряжен до напряжения $U=12,\text{В}$. Тогда заряд $q=C U=10\times10^{-6}\cdot12=120\times10^{-6},\text{Кл}$, энергия $W=\tfrac12CU^2=0{,}5\cdot10^{-5}\cdot144=7{,}2\times10^{-4},\text{Дж}$.

Пример 4

Определим реактивное сопротивление конденсатора $C=1,\mu\text{Ф}$ на частоте $f=50$ Гц:

$X_C = 1/(2\pi\cdot50\cdot10^{-6})\approx 3183,\Omega$.

При $f=50$ Гц этот конденсатор сильно ограничивает ток по сравнению с низкими частотами (например, при $f=1$ кГц его $X_C\approx159,\Omega$).

Катушка индуктивности

Катушка индуктивности – пассивный элемент, представляющий собой виток (или несколько витков) провода, накапливающий энергию в магнитном поле.

При изменении тока в катушке возникает э.д.с. самоиндукции. Основной параметр катушки – индуктивность $L$, измеряемая в генри (Гн). Индуктивность зависит от геометрии витков и свойств сердечника. Для длинной соленоидной катушки формула примерно:

$L = \mu_0 \mu_r \frac{S N^2}{l},$

где $\mu_0\approx4\pi\cdot10^{-7}$ Гн/м – магнитная постоянная, $\mu_r$ – относительная магнитная проницаемость сердечника, $S$ – площадь поперечного сечения сердечника (м²), $N$ – число витков, $l$ – длина средней линии сердечника (м). Эта формула показывает пропорциональность $L \propto N^2\mu S/l$.

Напряжение на катушке при изменении тока описывается законом Фарадея:

$u = L\,\frac{dI}{dt}$.

ЭДС самоиндукции $u$ создаётся против изменения тока. Энергия, запасённая в магнитном поле катушки, равна половине произведения индуктивности на квадрат тока: $W = \frac{1}{2} L I^2$.

В цепи постоянного тока при установившемся режиме катушка индуктивности (идеально не имеющая активного сопротивления) ведёт себя как обычный проводник: постоянный ток протекает через неё без электродвижущей силы (катушка проявляет «короткое замыкание» для постоянного тока). При включении источника постоянного тока в цепь на мгновение возникает противо-ЭДС $L,dI/dt$, но после установления тока э.д.с. исчезает.

В цепях переменного тока катушка оказывает индуктивное сопротивление (реактанс), растущее с частотой. Действительная величина индуктивного сопротивления:

$X_L = \omega L = 2\pi f\,L,$

на что указывает формула. При высоких частотах $X_L$ велик – катушка «противодействует» прохождению переменного тока, при низких частотах $X_L$ мал. В идеальном случае ток через катушку отстаёт по фазе от напряжения на $90^\circ$ (ток через индуктивность запаздывает относительно приложенного напряжения на четверть периода).

Пример 5

Катушка с $L=10,\text{мГн}$ и током $I=1{,}5$ А запасает энергию $W=\tfrac12\cdot0{,}01\cdot(1{,}5)^2=0{,}1125$ Дж.

При частоте $f=50$ Гц её индуктивное сопротивление $X_L=2\pi\cdot50\cdot0{,}01\approx3{,}14,\Omega$.

Источник ЭДС (напряжения)

Источник ЭДС (идеальный источник напряжения) – активный двухполюсник, создающий заданную электродвижущую силу (ЭДС) $\mathcal{E}$ между своими выводами независимо от нагрузки. Напряжение на идеальных клеммах источника равно его ЭДС:

$U=\mathcal{E}=\text{const}$.

Это может быть постоянное или переменное (например, синусоидальное) напряжение. В эквивалентной модели реального источника к внутреннему напряжению $\mathcal{E}$ последовательно добавлено внутреннее сопротивление $r$ (обычно малое).

Закон Ома для полной цепи с источником ЭДС имеет вид:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r},$

где $R$ – сопротивление внешней нагрузки, $r$ – внутреннее сопротивление источника. Соответственно, напряжение на внешней нагрузке $U = I R = \mathcal{E} — I,r$. Единица ЭДС – вольт (В); внутреннее сопротивление измеряется в омах.

В цепи постоянного тока источник ЭДС поддерживает постоянное напряжение при любых значениях тока (в пределах своих возможностей). В цепи переменного тока источник может работать как синусоидальный генератор с напряжением $\mathcal{E}(t)=\mathcal{E}_0\cos(\omega t+\phi)$. Для идеального источника переменного напряжения аналогично: ток в цепи определяется законами Ома с комплексным сопротивлением.

Пример 6

Батарея даёт ЭДС $\mathcal{E}=12$ В с внутренним сопротивлением $r=0{,}5,\Omega$. Если к ней подключена нагрузка $R=5,\Omega$, то ток $I=12/(5+0.5)\approx2{,}18$ A, падение напряжения на нагрузке $U=I R\approx10.91$ В, внутренней потери $I r\approx1.09$ В. Если $R\to0$ (короткое замыкание), ток $I_\text{кз}=\mathcal{E}/r=24$ A.

Источник тока

Источник тока – активный двухполюсник, создающий заданный ток, не зависящий от приложенного к нему напряжения (идеальный источник тока). Иначе говоря, идеальный источник тока обеспечивает постоянную силу тока $I_0$ во внешней цепи вне зависимости от сопротивления нагрузки. В вольт-амперной характеристике (ВАХ) идеального источника тока ток остаётся постоянным: $I=I_0$. ЭДС такого источника математически эквивалентна бесконечно большой (подстраивается), а внутреннее сопротивление стремится к бесконечности. Реальные источники тока моделируются как идеальный источник тока $I_0$ с параллельным сопротивлением.

В цепи постоянного тока источник тока обеспечивает заданную величину $I_0$. В цепи переменного тока возможен источник переменного тока с заданной амплитудой и фазой. Для идеального источника тока при отключённой нагрузке (разомкнут) напряжение на его клеммах может стремиться к бесконечности, а при коротком замыкании – напряжение равно нулю, но сила тока остаётся $I_0$.

Пример 7

Идеальный источник с током $I_0=20$ мА подключён к нагрузке $R=1,\text{k}\Omega$. При этом на нагрузке возникает напряжение $U=I_0 R =0{,}02\cdot1000=20$ В. Если к такому источнику вместо нагрузки подключить другой резистор 2 кОм, то $U=0{,}02\cdot2000=40$ В. Ток остаётся 20 мА вне зависимости от $R$.

В реальных схемах источник тока может быть задан, например, с помощью операционного усилителя (ток через задающий резистор), однако идеализация упрощает анализ: в цепи остаётся закон Ома и понятие внутреннего сопротивления (обычно очень большое).