Рабочее и амплитудное значение напряжения
Введение
В электротехнике и электронике переменные напряжения характеризуются несколькими величинами, среди которых особенно важны амплитудное и действующее (эффективное) значения напряжения. Амплитудное значение (иногда называемое пиковым) – это наибольшее мгновенное значение напряжения за период, то есть максимум, которого достигает сигнал. Действующее же значение – это своеобразная «средняя энергетическая» величина: оно характеризует такое постоянное напряжение, которое за тот же период выделило бы в нагрузке столько же энергии, сколько и данное переменное напряжение. Другими словами, действующее значение – это эффективное напряжение, связанное с мощностью и тепловым действием переменного тока. В англоязычной литературе его обозначают как RMS (Root Mean Square), что подчёркивает способ расчёта – через квадрат, усреднение и извлечение корня.
Амплитудное и действующее напряжение: определения и разница
Амплитудное значение напряжения
Амплитудное значение напряжения $U_{m}$ – это максимальное отклонение мгновенного значения напряжения от нуля за период. Для переменного напряжения, изменяющегося во времени $u(t)$, амплитудой $U_{m}$ называют наибольшее по модулю значение $|u(t)|$ на интервале одного периода. Если речь о гармоническом (синусоидальном) сигнале, описываемом, например, как $u(t)=U_{m}\sin(\omega t + \varphi)$, то $U_{m}$ явно видно как коэффициент перед функцией синуса – именно до этой величины поднимается (и опускается) сигнал в каждый полупериод. Амплитудное значение измеряется в тех же единицах, что и напряжение (вольтах), и в осциллографах отображается как размах пика сигнала.
Действующее (эффективное) значение напряжения
Действующее (эффективное) значение напряжения $U_{\text{эфф}}$ – это эквивалентное постоянное напряжение, при котором на данном сопротивлении выделялось бы столько же тепла (мощности), сколько при рассматриваемом переменном напряжении за полный период. Математически действующее значение определяется как квадратный корень из среднего квадрата напряжения за период. Для периодического напряжения $u(t)$ с периодом $T$ это можно выразить формулой:
$U_{\text{эфф}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}[u(t)]^2 dt}\,.$
Именно благодаря такому способу расчёта действующее значение часто называют среднеквадратическим. По определению следует, что $U_{\text{эфф}}$ всегда неотрицательно и отражает эффективную амплитуду колебания с точки зрения переноса энергии. Амплитудное значение, напротив, показывает мгновенный максимум, но не учитывает длительность времени, в течение которого напряжение держится около этого максимума.
Например, амплитудное напряжение указывает на максимальную величину, тогда как действующее напряжение характеризует среднюю энергетическую составляющую переменного напряжения. Действующее значение напрямую связано с мощностью: мощность на резисторе $R$ можно вычислить как $P = U_{\text{эфф}}^2/R$ для переменного напряжения, аналогично формуле $P=U^2/R$ для постоянного напряжения. Поэтому указанные напряжения в электрических сетях и приборах (например, 220 В в розетке) – это именно эффективные значения, дающие представление о выделяемой мощности. Амплитудное же значение важно учитывать при выборе компонентов, изоляции и при анализе переходных процессов, так как оно определяет предельные напряжения, до которых может доходить сигнал.
Синусоидальное напряжение
Синусоидальное (гармоническое) напряжение – наиболее распространённый вид переменного напряжения. Его мгновенное значение изменяется по закону синуса (или косинуса). Если $u(t) = U_{m}\sin(\omega t)$, то амплитуда равна $U_{m}$, а период $T$ связан с частотой как $T = 2\pi/\omega$. Для синусоиды вычисление действующего значения особенно наглядно. Подставим $u(t)=U_{m}\sin(\omega t)$ в определение выше:
$U_{\text{эфф}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} U_{m}^2\sin^2(\omega t)\,dt}\,.$
Поскольку $U_{m}^2$ – постоянный множитель, вынесем его за знак интеграла. Усреднение $\sin^2(\omega t)$ за полный период равно $1/2$. Поэтому получаем:
$U_{\text{эфф}} = U_{m}\sqrt{\frac{1}{T}\cdot \frac{T}{2}} = \frac{U_{m}}{\sqrt{2}} \approx 0.707\,U_{m}\,.$
Для синусоидального напряжения действующее значение в $ \sqrt{2} \approx 1.414 $ раза меньше амплитудного. Иначе говоря, $U_{m} = \sqrt{2},U_{\text{эфф}}$, а $U_{\text{эфф}} = U_{m}/\sqrt{2}$. Именно эту связь используют, когда говорят, что в бытовой сети 220 В действующих соответствует примерно 311 В амплитудных (так как $311/\sqrt{2}\approx 220$).
Пример (синусоида)
Пусть задано синусоидальное напряжение $u(t)=100\sin(ωt)$ В. Здесь амплитудное значение $U_m = 100$ В. Найдём действующее значение: $U_{\text{эфф}} = 100/\sqrt{2} \approx 70.7$ В. Если бы такое напряжение подали на резистор 50 Ом, средняя выделяемая мощность была бы $P = U_{\text{эфф}}^2/R \approx (70.7)^2/50 \approx 100$ Вт. Для сравнения, постоянное напряжение 70.7 В на том же резисторе дало бы ту же мощность 100 Вт за то же время. Таким образом, действующее напряжение синусоиды – это эквивалент 70.7 В постоянного напряжения по тепловому действию. Амплитудное же значение 100 В важно в контексте того, что мгновенно напряжение достигает ±100 В, и компоненты цепи должны выдерживать именно этот пик.
Импульсные напряжения
Импульсным назовём напряжение, которое подаётся в виде кратковременных импульсов (прямоугольных или похожих по форме), чередующихся с паузами. Примерами могут быть цифровые сигналы, ШИМ-модулированные напряжения, выход импульсных источников питания и т.п. Простейший случай – периодическая прямоугольная форма напряжения, принимающая два уровня: высокий (пик $U_m$) в течение некоторой доли периода и нулевой уровень в остальное время. Такой сигнал характеризуется коэффициентом заполнения $D$ – долей периода, в течение которой сигнал находится в активном (не нулевом) состоянии. Если сигнал однополярный (только положительные импульсы от 0 до $U_m$), коэффициент заполнения $D = t_{\text{имп}}/T$, где $t_{\text{имп}}$ – длительность импульса, $T$ – период повторения импульсов.
Для прямоугольного импульсного напряжения действующее значение также определяется по формуле RMS. Поскольку во время импульса напряжение равно $U_m$, а в паузе 0, интеграл за период сводится к участку длиной $D T$ с уровнем $U_m^2$ и остальной части с 0. В результате:
$U_{\text{эфф}} = \sqrt{\frac{1}{T}\Big(U_m^2 \cdot D T + 0^2 \cdot (1-D)T\Big)} = U_m\sqrt{D}\,.$
Для однополярного прямоугольного импульса действующее значение равно амплитуде, умноженной на $\sqrt{D}$. В частном случае меандра (симметричный прямоугольный сигнал с $D = 0.5$, т.е. импульс и пауза одинаковой длительности) получаем $U_{\text{эфф}} = U_m\sqrt{0.5} \approx 0.707,U_m$, что совпадает с случаем синусоиды – эффективное значение составляет ~70.7% от пикового. Если же импульс очень короткий (малый $D$), действующее значение значительно меньше амплитуды.
Приведённая формула относится к импульсам, изменяющимся между 0 и $U_m$. Если сигнал двухполярный (например, прямоугольное переменное напряжение, которое чередуется +$U_m$ и -$U_m$), расчет несколько иной. Для двухполярного меандра (который половину периода +$U_m$, а половину -$U_m$) оказывается $U_{\text{эфф}} = U_m$, поскольку напряжение по модулю всегда равно $U_m$ все 100% времени (т.е. $D=0.5$, но уровень в паузе не 0, а $-U_m$, чей квадрат такой же $U_m^2$). В таких сигналах амплитудное и эффективное значения совпадают, хотя, конечно, отличаются от среднего (среднее в этом случае 0, поскольку положительная половина компенсирует отрицательную).
Пример (импульс):
Рассмотрим периодический импульсный сигнал амплитудой 12 В, длительность импульса – 2 мс, период повторения – 10 мс (т.е. $D = 0.2$ или 20%). Амплитудное значение $U_m = 12$ В. Действующее значение найдем как $U_{\text{эфф}} = 12\sqrt{0.2} = 12\sqrt{0.2} \approx 12 \cdot 0.447 = 5.36$ В. Этот результат означает, что данный импульсный сигнал по тепловому действию эквивалентен постоянному напряжению ~5.36 В. Действительно, если подать 12 В импульсы 2 мс каждые 10 мс на резистор, средняя мощность будет такая же, как при постоянных 5.36 В на том же резисторе. Заметим, что среднее (усреднённое по времени) напряжение этого импульсного сигнала равно $U_{\text{ср}} = 12 \cdot 0.2 = 2.4$ В, что существенно меньше эффективного – это объясняется тем, что эффективное учитывает квадратичную зависимость мощности от напряжения, сильнее «весом» делают вклад пики напряжения.
Напряжение произвольной формы
Для произвольных несинусоидальных напряжений действующее значение вычисляется по тому же определению – через средний квадрат. Не каждую форму сигнала можно описать простой формулой, как синус или прямоугольник, но интегральное определение справедливо для любых $u(t)$. В ряде случаев удаётся получить аналитические выражения. Например, для треугольного периодического напряжения амплитуды $U_m$ (линейно растущего и спадающего) можно показать, что $U_{\text{эфф}} = U_{m}/\sqrt{3} \approx 0.577,U_m$. Каждая конкретная форма имеет свой коэффициент, зависящий от того, сколько времени сигнал проводит на разных уровнях. Однако в общем случае удобнее исходить из определения и выполнять интегрирование или суммирование.
Если функция $u(t)$ задана на периоде кусочно или таблично, рассчитывают среднеквадратичное значение вручную. Рассмотрим пример: напряжение за период $T$ равняется +5 В в первой части длительностью $0.4T$ и -2 В во второй части длительностью $0.6T$ (см. рис. 3). Интеграл (или сумма) для среднего квадрата напряжения разобьётся на две части:
$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}[u(t)]^2 dt = \frac{1}{T}\Big(5^2 \cdot 0.4T + (-2)^2 \cdot 0.6T\Big) = 25 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.6 = 10 + 2.4 = 12.4~(\text{В}^2)\,.$
Тогда $U_{\text{эфф}} = \sqrt{12.4} \approx 3.52$ В. Видно, что хотя сигнал большую часть времени отрицательный (-2 В), за счёт квадрата в формуле отрицательный знак не влияет на эффективное значение – оно учитывает лишь квадраты отклонений. В данном случае эффективное напряжение (~3.52 В) больше по модулю, чем среднее напряжение за период (усреднение $+5$ В и $-2$ В дало бы +1.4 В), но меньше, чем амплитуда 5 В.
Пример (произвольная форма)
Пусть задан непериодический сигнал на интервале времени 0–5 с, принимающий значения: 3 В в течение первых 2 секунд, затем -4 В в течение следующих 2 с, затем 0 В в течение последней секунды. Найдём его среднеквадратичное значение на всём интервале 5 с. Вычислим средний квадрат: $(3^2 \cdot 2 + (-4)^2 \cdot 2 + 0^2 \cdot 1)/5 = (9\cdot2 + 16\cdot2 + 0)/5 = (18 + 32)/5 = 50/5 = 10$. Корень из этого значения равен $\sqrt{10} \approx 3.16$ В. Это и есть действующее значение данного произвольного сигнала на указанном промежутке времени. Оно больше, чем простое среднее арифметическое (которое равно $(3+(-4)+0)/3 \approx -0.33$ В, близко к нулю из-за смены полярности), но характеризует энергию: тот же резистор нагрелся бы так же, если подать на него постоянное ~3.16 В вместо оригинального чередующегося напряжения.
Заключение
Амплитудное и действующее значения – два ключевых параметра переменного напряжения, дополняющие друг друга. Амплитудное (пиковое) значение $U_m$ показывает наибольшее мгновенное напряжение, которое достигается в цепи, и важно для оценки пробивных напряжений, перегрузочной способности компонентов и пр. Действующее (эффективное) значение $U_{\text{эфф}}$ отражает способность напряжения совершать работу (выделять тепловую энергию) и используется при расчетах мощности, токов и при калибровке измерительных приборов. В измерительной технике стандартные вольтметры переменного тока градуируются в эффективных значениях, исходя из предположения синусоидальной формы сигнала. При несинусоидальных формах (например, импульсных) истинное эффективное значение может отличаться – поэтому существуют так называемые измерители True RMS, способные вычислять действующее значение произвольного сигнала.
Подведём итог ключевым соотношениям для рассмотренных типов сигналов:
- Синусоидальное напряжение: $U_{\text{эфф}} = \frac{1}{\sqrt{2}}U_m \approx 0.707,U_m$.
- Прямоугольный импульс (однополярный, коэффициент заполнения $D$): $U_{\text{эфф}} = \sqrt{D},U_m$. Например, при $D=0.5$ получается $0.707,U_m$, при $D=0.2$ – $0.447,U_m$ и т.д.
- Двухполярный меандр (смена +$U_m$ и -$U_m$): $U_{\text{эфф}} = U_m$ (так как всё время сигнал имеет амплитуду $U_m$ по модулю).
- Треугольное напряжение: $U_{\text{эфф}} = \frac{1}{\sqrt{3}}U_m \approx 0.577,U_m$.
- Произвольная форма: $U_{\text{эфф}}$ вычисляется по общей формуле, интегрированием или усреднением квадратов значений.
