Уравнения диффузии

Общая информация

Диффузией называют процесс, при котором газы или жидкости постепенно смешиваются друг с другом. Он запускается, если в системе есть разница в концентрациях подвижных частиц. Благодаря диффузионному перемещению частицы стремятся достичь равномерного распределения в пределах рассматриваемого объёма.

Уравнение диффузионного тока заряженных частиц

В основе диффузионного тока лежит простой принцип: частицы всегда стараются «расползтись» из области, где их много, туда, где их мало. Математически это описывается формулой:

J = -qD \frac{dn}{dx}

• J — плотность диффузионного тока (сколько заряженных частиц проходит через единицу площади в единицу времени).
• q — заряд частицы (например, заряд электрона).
• D — коэффициент диффузии, отвечающий за «быстроту» рассеивания частиц.
• dn/dx — градиент концентрации, показывающий, где частицы густо «населены», а где их мало.

Знак «минус» указывает, что поток идёт в сторону уменьшения концентрации. Представьте себе, как капля чернил в воде постепенно растворяется: более тёмные области сливаются со светлыми. Этот процесс и есть наглядный пример диффузии.

Уравнение термического напряжения

Термическое напряжение (U_T) показывает, какую «силу воздействия» вольт создаёт обычная тепловая энергия при данных условиях. Если вы возьмёте энергию kT (где k — постоянная Больцмана, а T — температура), то получите некую «тепловую подпись» системы. Переведя эту подпись в вольты (через деление на заряд q), мы и получим:

U_T = \frac{kT}{q}

При комнатной температуре (около 300 K) это даёт примерно 0,026 В. Такая маленькая, но очень важная цифра появляется во множестве формул, описывающих, например, работу транзисторов и диодов. Без этого числа сложно точно спрогнозировать, как поведёт себя электрическая цепь при нагреве или охлаждении.

По сути, U_T определяет масштаб, на котором тепловая энергия начинает влиять на движение электронов и дырок. Поэтому в уравнении для тока через p–n-переход:

I = I_S \left(e^{U/U_T} - 1\right)

именно U_T задаёт «порог» воздействия тепла, определяя, когда носители зарядов «просыпаются» и начинают активно двигаться.

Уравнение Эйнштейна для диффузии

Это соотношение удобно запомнить как «связь диффузии и подвижности». Если носители заряда в среде двигаются легко (то есть у них большая подвижность μ), то и диффузия будет идти эффективнее. Математически это выражается через:

D = \mu \frac{kT}{q}

По сути, это говорит нам: чем выше температура (больше kT), тем сильнее носители «толкаются» друг от друга и тем больше их стремление диффундировать, а чем выше подвижность, тем быстрее они перемещаются под действием любых сил, в том числе диффузионных.

Данная формула проверена множеством экспериментов в полупроводниках (кремнии, германии и других), а также тесно связана с принципом флуктуаций и отклика в статистической механике: если система склонна к большим флуктуациям, то она так же сильнее реагирует на внешние воздействия.

Вывод

Все три уравнения — закон Фика для диффузионного тока, выражение для термического напряжения и соотношение Эйнштейна — прошли проверку временем и экспериментами. Эти формулы встречаются в самых разных областях: от изучения движения газа и растворов до проектирования микросхем.